四角形ABCDが円に内接しており、$AB = 2$, $BC = 3$, $DA = 1$, $\cos{\angle ABC} = \frac{1}{6}$である。 (1) 線分AC, CDの長さを求める。 (2) 三角形ACDの面積を求める。 (3) 線分BDの長さを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、$AB = 2$, $BC = 3$, $DA = 1$, $\cos{\angle ABC} = \frac{1}{6}$である。

(1) 線分AC, CDの長さを求める。

(2) 三角形ACDの面積を求める。

(3) 線分BDの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分ACの長さを求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}$

$AC^2 = 4 + 9 - 2 = 11$

$AC = \sqrt{11}$

四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC$

$\cos{\angle ADC} = \cos{(180^{\circ} - \angle ABC)} = -\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{6}$

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$11 = 1^2 + CD^2 - 2 \cdot 1 \cdot CD \cdot (-\frac{1}{6})$

$11 = 1 + CD^2 + \frac{1}{3}CD$

$CD^2 + \frac{1}{3}CD - 10 = 0$

$3CD^2 + CD - 30 = 0$

$(3CD + 10)(CD - 3) = 0$

$CD = 3$ (CD > 0 より)

(2) $\triangle ACD$の面積を求める。

$\sin^2{\angle ADC} + \cos^2{\angle ADC} = 1$ より

$\sin^2{\angle ADC} = 1 - \cos^2{\angle ADC} = 1 - (-\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

$\sin{\angle ADC} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}$ ($\angle ADC$は0°から180°の間なのでsinは正)

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC}$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{\sqrt{35}}{4}$

(3) 線分BDの長さを求める。

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$であるから, 円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$。

$AC = \sqrt{11}$を用いて,$\triangle ABC$と$\triangle ADC$それぞれにおいて余弦定理を用いる。

$\triangle ABC$において, $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos B$

$11 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3) \cos B$

$11 = 4 + 9 - 12 \cos B$

$\cos B = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$\triangle ADC$において, $AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 AD \cdot CD \cos D$

$11 = 1^2 + 3^2 - 2(1)(3) \cos D$

$11 = 1 + 9 - 6 \cos D$

$\cos D = -\frac{1}{6}$

$\triangle ABD$において,余弦定理より,

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB \cdot AD \cos A$

$\triangle CBD$において,余弦定理より,

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 BC \cdot CD \cos C$

トレミーの定理より

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$

$\sqrt{11} \cdot BD = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3$

$\sqrt{11} \cdot BD = 6 + 3 = 9$

$BD = \frac{9}{\sqrt{11}} = \frac{9\sqrt{11}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \sqrt{11}$, $CD = 3$

(2) $\triangle ACD = \frac{\sqrt{35}}{4}$

(3) $BD = \frac{9\sqrt{11}}{11}$