与えられた数列の和を求める問題です。 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5)$

2. 解き方の手順

数列の和を求めるために、$\sum$の性質を利用して、各項ごとに計算します。

まず、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + 5\sum_{k=1}^{n} 1$と変形します。

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} 1$の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 5) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\frac{n(n+1)}{2} + 5n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3n(n+1) + 5n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 18n(n+1) + 30n}{6}$

$= \frac{n[(n+1)(2n+1) - 18(n+1) + 30]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 - 18n - 18 + 30]}{6}$

$= \frac{n[2n^2 - 15n + 13]}{6}$

$= \frac{n(n-1)(2n-13)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(2n-13)}{6}$