与えられた2つの関数のグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ (2) $y = x + \sqrt{1 - x^2}$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数のグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{x^3}{x^2 - 4}$

(2) $y = x + \sqrt{1 - x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x^3}{x^2 - 4}$

* 定義域: $x^2 - 4 \neq 0$ より $x \neq \pm 2$

* 対称性: $y(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -y(x)$ より、奇関数である。したがって、原点に関して対称。

* 漸近線:

* 垂直漸近線: $x = 2$, $x = -2$

* 斜め漸近線: $\frac{x^3}{x^2 - 4} = x + \frac{4x}{x^2 - 4}$ より、$y = x$ が斜め漸近線。

* 増減:

$y' = \frac{3x^2(x^2 - 4) - x^3(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{3x^4 - 12x^2 - 2x^4}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2(x^2 - 12)}{(x^2 - 4)^2}$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0, \pm 2\sqrt{3}$ のとき。

$y'' = \frac{(4x^3 - 24x)(x^2 - 4)^2 - (x^4 - 12x^2)2(x^2 - 4)(2x)}{(x^2 - 4)^4} = \frac{(4x^3 - 24x)(x^2 - 4) - 4x(x^4 - 12x^2)}{(x^2 - 4)^3} = \frac{4x^5 - 16x^3 - 24x^3 + 96x - 4x^5 + 48x^3}{(x^2 - 4)^3} = \frac{8x^3 + 96x}{(x^2 - 4)^3} = \frac{8x(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}$

$y'' = 0$ となるのは、$x = 0$ のとき。

(2) $y = x + \sqrt{1 - x^2}$

* 定義域: $1 - x^2 \geq 0$ より $-1 \leq x \leq 1$

* 対称性: 偶関数でも奇関数でもない。

* 増減:

$y' = 1 + \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = 1 - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$y' = 0$ となるのは、$\sqrt{1 - x^2} = x$ のとき。つまり、$1 - x^2 = x^2$ より $2x^2 = 1$, $x^2 = \frac{1}{2}$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。定義域より $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$y'' = -\frac{\sqrt{1-x^2} - x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = -\frac{(1-x^2) + x^2}{(1-x^2)^{3/2}} = -\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}} < 0$

したがって、上に凸。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、それぞれの関数の定義域、対称性、漸近線、増減、凹凸を考慮して描画します。具体的なグラフの描画は省略しますが、上記の解析結果に基づいてグラフを描くことができます。