2重積分 $\iint_{D_6} y \, dx \, dy$ の値を求めよ。ただし、$D_6 = \{(x, y) \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 2x\}$ である。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_{D_6} y \, dx \, dy$ の値を求めよ。ただし、$D_6 = \{(x, y) \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 2x\}$ である。

2. 解き方の手順

まず、$D_6$ の領域を把握するために、$x^2 + y^2 \le 2x$ を変形する。

$x^2 - 2x + y^2 \le 0$

$(x - 1)^2 + y^2 \le 1$

これは中心が $(1, 0)$、半径が $1$ の円の内部（境界を含む）を表す。また、$x^2 + y^2 \ge 0$ は常に成り立つ。

次に、極座標変換を行う。$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ とすると、$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$ となる。

領域 $(x-1)^2+y^2 \le 1$ を極座標で表すと、

$(r\cos\theta - 1)^2 + (r\sin\theta)^2 \le 1$

$r^2\cos^2\theta - 2r\cos\theta + 1 + r^2\sin^2\theta \le 1$

$r^2 - 2r\cos\theta \le 0$

$r(r - 2\cos\theta) \le 0$

$0 \le r \le 2\cos\theta$

また、円は $x$ 軸に関して対称であるため、$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となる。

したがって、積分は以下のようになる。

$\iint_{D_6} y \, dx \, dy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\cos\theta} (r\sin\theta) r \, dr \, d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\cos\theta} r^2\sin\theta \, dr \, d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[\frac{r^3}{3}\sin\theta\right]_0^{2\cos\theta} d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3}\cos^3\theta\sin\theta \, d\theta$

$u = \cos\theta$ と置換すると、$du = -\sin\theta \, d\theta$。

$\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき $u = 0$、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = 0$。

$= \int_0^0 -\frac{8}{3} u^3 \, du = 0$

3. 最終的な答え

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