次の2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2+4) - \log_2(2x^2)\}$

1. 問題の内容

次の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2+4) - \log_2(2x^2)\}$

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母を $2^x$ で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 2^{-2x}}{1 + 2^{-2x}}$$

$x \to \infty$ のとき、$2^{-2x} \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - 2^{-2x}}{1 + 2^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$

(2) 対数の性質を利用して式を整理します。

$$\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2+4) - \log_2(2x^2)\} = \lim_{x \to \infty} \log_2\left(\frac{x^2+4}{2x^2}\right)$$

$$= \lim_{x \to \infty} \log_2\left(\frac{1 + \frac{4}{x^2}}{2}\right)$$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x^2} \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} \log_2\left(\frac{1 + \frac{4}{x^2}}{2}\right) = \log_2\left(\frac{1+0}{2}\right) = \log_2\left(\frac{1}{2}\right) = \log_2(2^{-1}) = -1$$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) -1