Q7は、$(2x^3 + 3x)' = 6x^2 + 3$の計算過程における微分の線形性（定数倍と微分、和と微分）のどちらを使ったかを(1)~(3)の各ステップで答える問題です。 Q8は、商の微分公式を適用したときの$\Delta(\frac{1}{g})$の計算結果として正しい選択肢（A, B, C）を選ぶ問題です。 Q9は、Q8の続きで、$\Delta g$, $\Delta(\frac{1}{g})$, $\Delta x$, $\frac{1}{g(x)}$, $\frac{g'(x)}{g(x)^2}$の中から、式の空欄(1)、(2)、(3)を埋めるのに適切なものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

Q7は、$(2x^3 + 3x)' = 6x^2 + 3$の計算過程における微分の線形性（定数倍と微分、和と微分）のどちらを使ったかを(1)~(3)の各ステップで答える問題です。

Q8は、商の微分公式を適用したときの$\Delta(\frac{1}{g})$の計算結果として正しい選択肢（A, B, C）を選ぶ問題です。

Q9は、Q8の続きで、$\Delta g$, $\Delta(\frac{1}{g})$, $\Delta x$, $\frac{1}{g(x)}$, $\frac{g'(x)}{g(x)^2}$の中から、式の空欄(1)、(2)、(3)を埋めるのに適切なものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

Q7:

(1) $(2x^3+3x)' = (2x^3)' + (3x)'$　これは和の微分を使っています。

(2) $(2x^3)' = 2(x^3)'$　これは定数倍の微分を使っています。

(3) $(3x)' = 3x'$　これは定数倍の微分を使っています。

Q8:

$\Delta(\frac{1}{g}) = \frac{1}{g(x+\Delta x)} - \frac{1}{g(x)}$なので、選択肢Cが正しいです。

Q9:

与えられた式$\Delta (\frac{1}{g}) = \frac{g(x)-g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)} = \frac{-(g(x+\Delta x)-g(x))}{g(x+\Delta x)g(x)}$より、(1)は$\Delta g$です。

$\Delta (\frac{1}{g}) / \Delta x = \frac{-\Delta g}{\Delta x} \cdot \frac{1}{g(x+\Delta x)g(x)}$より、$\Delta x \rightarrow 0$としたとき、左辺の極限値は$(\frac{1}{g(x)})'$で表されます。したがって、(2)は$(\frac{1}{g(x)})'$となります。

$\Delta x \rightarrow 0$としたとき、右辺の極限値は$g(x+\Delta x) \rightarrow g(x)$となるので、$\frac{-\Delta g}{\Delta x} \cdot \frac{1}{g(x+\Delta x)g(x)} \rightarrow \frac{-g'(x)}{g(x)^2}$となります。したがって、(3)は$\frac{-g'(x)}{g(x)^2}$となります。問題文に$\frac{g'(x)}{g(x)^2}$が選択肢としてあるので、(3)は$\frac{g'(x)}{g(x)^2}$の符号違いである、$- \frac{g'(x)}{g(x)^2}$となります。

3. 最終的な答え

Q7:

(1): (B) 和と微分

(2): (A) 定数倍と微分

(3): (A) 定数倍と微分

Q8:

C

Q9:

(1): $\Delta g$

(2): $(\frac{1}{g(x)})'$

(3): $\frac{-g'(x)}{g(x)^2}$