与えられた関数の $x$ が 0 に近づくときの極限を求める問題です。 具体的には、以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x})$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が 0 に近づくときの極限を求める問題です。

具体的には、以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x})$

2. 解き方の手順

$\sin(x^2)$と$\sin(\frac{1}{x})$の積の極限を求めます。

まず、$\lim_{x \to 0} \sin(x^2)$ を考えます。$x$ が 0 に近づくと、$x^2$ も 0 に近づくので、

$\lim_{x \to 0} \sin(x^2) = \sin(0) = 0$

次に、$\sin(\frac{1}{x})$ について考えます。$x$ が 0 に近づくと、$\frac{1}{x}$ は無限大に発散します。したがって、$\sin(\frac{1}{x})$ は -1 と 1 の間を振動します。

しかし、$\sin(\frac{1}{x})$ は -1 から 1 の間の値しか取らないため、有界です。

つまり、$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ が成り立ちます。

したがって、$x \to 0$ において、$\sin(x^2)$ は 0 に収束し、$\sin(\frac{1}{x})$ は有界であるため、積の極限は 0 になります。

$\lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x}) = 0$

3. 最終的な答え

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