関数 $f(x, y) = \frac{x+5y}{x-2xy}$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{x+5y}{x-2xy}$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f_x(x, y)$ を求めるには、$y$ を定数とみなして $x$ で偏微分します。

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x + 5y$ とすると、$u' = \frac{\partial u}{\partial x} = 1$

$v = x - 2xy$ とすると、$v' = \frac{\partial v}{\partial x} = 1 - 2y$

よって、

$f_x(x, y) = \frac{1 \cdot (x - 2xy) - (x + 5y) \cdot (1 - 2y)}{(x - 2xy)^2} = \frac{x - 2xy - (x - 2xy + 5y - 10y^2)}{(x - 2xy)^2} = \frac{x - 2xy - x + 2xy - 5y + 10y^2}{(x - 2xy)^2} = \frac{-5y + 10y^2}{(x - 2xy)^2} = \frac{5y(2y - 1)}{(x(1 - 2y))^2} = \frac{5y(2y-1)}{x^2(1 - 2y)^2}$

$f_y(x, y)$ を求めるには、$x$ を定数とみなして $y$ で偏微分します。

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x + 5y$ とすると、$u' = \frac{\partial u}{\partial y} = 5$

$v = x - 2xy$ とすると、$v' = \frac{\partial v}{\partial y} = -2x$

よって、

$f_y(x, y) = \frac{5(x - 2xy) - (x + 5y)(-2x)}{(x - 2xy)^2} = \frac{5x - 10xy + 2x^2 + 10xy}{(x - 2xy)^2} = \frac{5x + 2x^2}{(x - 2xy)^2} = \frac{x(5 + 2x)}{x^2(1 - 2y)^2} = \frac{5 + 2x}{x(1 - 2y)^2}$

3. 最終的な答え

$f_x(x, y) = \frac{5y(2y-1)}{x^2(1-2y)^2}$

$f_y(x, y) = \frac{2x+5}{x(1-2y)^2}$