$x, y$ が実数のとき、$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ であることを証明する。

1. 問題の内容

$x, y$ が実数のとき、$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

$x+y$ の最大値を求めることを考えます。$x+y = k$ とおくと、$y = k - x$ です。これを $x^2 + y^2 \le 1$ に代入すると、

$x^2 + (k-x)^2 \le 1$

$x^2 + k^2 - 2kx + x^2 \le 1$

$2x^2 - 2kx + k^2 - 1 \le 0$

この不等式が実数解を持つためには、判別式 $D \ge 0$ でなければなりません。

$D/4 = (-k)^2 - 2(k^2 - 1) = k^2 - 2k^2 + 2 = -k^2 + 2 \ge 0$

$k^2 \le 2$

$-\sqrt{2} \le k \le \sqrt{2}$

よって、$x+y = k$ の最大値は $\sqrt{2}$ であることがわかります。したがって、$x+y \le \sqrt{2}$ が成立します。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 \le 1$ ならば $x+y \le \sqrt{2}$ は成立する。