次の不等式の表す領域を図示する問題です。 (1) $y > x^2 - 4x + 3$ (2) $y \le 1 - x^2$

1. 問題の内容

次の不等式の表す領域を図示する問題です。

(1) $y > x^2 - 4x + 3$

(2) $y \le 1 - x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y > x^2 - 4x + 3$

まず、$y = x^2 - 4x + 3$ のグラフを描きます。

平方完成すると、$y = (x - 2)^2 - 1$ となります。

よって、頂点は $(2, -1)$ です。

$x = 0$ のとき、$y = 3$ なので、y軸との交点は $(0, 3)$ です。

$y = 0$ のとき、$x^2 - 4x + 3 = 0$ より、$(x - 1)(x - 3) = 0$ なので、$x = 1, 3$ となります。

よって、x軸との交点は $(1, 0), (3, 0)$ です。

不等号が > なので、境界線は含みません。したがって、放物線は点線で描きます。

領域は、放物線の上側の領域です。

(2) $y \le 1 - x^2$

まず、$y = 1 - x^2$ のグラフを描きます。

これは、上に凸の放物線で、頂点は $(0, 1)$ です。

$x = 0$ のとき、$y = 1$ なので、y軸との交点は $(0, 1)$ です。

$y = 0$ のとき、$1 - x^2 = 0$ より、$x^2 = 1$ なので、$x = \pm 1$ となります。

よって、x軸との交点は $(-1, 0), (1, 0)$ です。

不等号が $\le$ なので、境界線を含みます。したがって、放物線は実線で描きます。

領域は、放物線の下側の領域です。

3. 最終的な答え

(1) $y > x^2 - 4x + 3$ の表す領域は、放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ の上側の領域（ただし、境界線を含まない）です。

(2) $y \le 1 - x^2$ の表す領域は、放物線 $y = 1 - x^2$ の下側の領域（ただし、境界線を含む）です。