$5^{44}$ の桁数と最高位の数字を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$5^{44}$ の桁数と最高位の数字を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$5^{44}$ の常用対数を計算する。

$$\log_{10} 5^{44} = 44 \log_{10} 5$$

ここで、$\log_{10} 5$ は $\log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ である。

$\log_{10} 2 = 0.3010$ より、

$$\log_{10} 5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$$

したがって、

$$\log_{10} 5^{44} = 44 \times 0.6990 = 30.756$$

$5^{44}$ の桁数は、$\log_{10} 5^{44}$ の整数部分に 1 を加えたものである。

$\log_{10} 5^{44} = 30.756$ の整数部分は 30 なので、桁数は $30 + 1 = 31$ 桁である。

次に、最高位の数字を求める。

$\log_{10} 5^{44} = 30.756$ の小数部分は 0.756 である。

$x = 10^{0.756}$ とすると、最高位の数字はこの $x$ の整数部分となる。

与えられた対数の値を用いて、0.756 に近い値を $\log_{10} n$ の形で表現する。

$\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ であるから、

$\log_{10} 5 = 0.6990$, $\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

$0.6990 < 0.756 < 0.7781$ より、$\log_{10} 5 < 0.756 < \log_{10} 6$

つまり、$5 < 10^{0.756} < 6$

$0.756$ は $\log_{10} 5$ と $\log_{10} 6$ の間にあり、$\log_{10} 5$ より $\log_{10} 6$ に近い。

$10^{0.756} = x$ とすると、最高位の数字は5である。

3. 最終的な答え

桁数：31 桁

最高位の数字：5