$a$ を定数とする。関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答える。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。関数 $y = -x^2 + 4ax - a$ ($0 \le x \le 2$) について、以下の問いに答える。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最大値を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 4ax - a = -(x^2 - 4ax) - a = -(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - a = -(x-2a)^2 + 4a^2 - a$

よって、頂点の座標は $(2a, 4a^2 - a)$ である。

定義域 $0 \le x \le 2$ の範囲における最大値を考える。軸 $x = 2a$ の位置によって場合分けをする。

(i) $2a < 0$ すなわち $a < 0$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x=0$ で最大となる。

最大値は $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

(ii) $0 \le 2a \le 2$ すなわち $0 \le a \le 1$ のとき

頂点で最大となる。

最大値は $y = 4a^2 - a$

(iii) $2 < 2a$ すなわち $1 < a$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x=2$ で最大となる。

最大値は $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

(2) 最小値を求める。

(i) $2a \le 1$ すなわち $a \le \frac{1}{2}$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x=2$ で最小となる。

最小値は $y = -2^2 + 4a(2) - a = -4 + 8a - a = 7a - 4$

(ii) $1 < 2a$ すなわち $\frac{1}{2} < a$ のとき

定義域内で $x$ が減少すると $y$ は減少するので、$x=0$ で最小となる。

最小値は $y = -0^2 + 4a(0) - a = -a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$a < 0$ のとき、 $-a$

$0 \le a \le 1$ のとき、$4a^2 - a$

$1 < a$ のとき、$7a - 4$

(2) 最小値

$a \le \frac{1}{2}$ のとき、$7a - 4$

$\frac{1}{2} < a$ のとき、$-a$