(1) $\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \int_0^{\sin t} (1 - 2\cos 2h) dh$ の値を求める。 (2) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{n})^n$ の値を求める。選択肢から選ぶ。 (3) $f(x) = e^{-x} \cos x$, $g(x) = e^{-x} \sin x$ とする。$f(x) = a \cdot f'(x) + b \cdot g'(x)$ (a, b は定数) の形で表すときの a, b の値を求める。 さらに、定積分 $\int_{2\pi}^{3\pi} f(x) dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \int_0^{\sin t} (1 - 2\cos 2h) dh$ の値を求める。

(2) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{n})^n$ の値を求める。選択肢から選ぶ。

(3) $f(x) = e^{-x} \cos x$, $g(x) = e^{-x} \sin x$ とする。$f(x) = a \cdot f'(x) + b \cdot g'(x)$ (a, b は定数) の形で表すときの a, b の値を求める。

さらに、定積分 $\int_{2\pi}^{3\pi} f(x) dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) ロピタルの定理を用いる。

まず、$F(t) = \int_0^{\sin t} (1 - 2\cos 2h) dh$ とおくと、

$\lim_{t \to 0} \frac{F(t)}{t}$ の形である。$F(0) = 0$ かつ $t \to 0$ のとき $t \to 0$ なので、ロピタルの定理が使える。

$F'(t) = (1 - 2\cos(2\sin t)) \cos t$ である。よって、

$\lim_{t \to 0} \frac{F'(t)}{1} = \lim_{t \to 0} (1 - 2\cos(2\sin t)) \cos t = (1 - 2\cos(0)) \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

(2) $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$ を利用する。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{n})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-2}{n})^n = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$. 選択肢の3番。

(3) $f(x) = e^{-x} \cos x$, $g(x) = e^{-x} \sin x$ なので、

$f'(x) = -e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x = -e^{-x} (\cos x + \sin x)$

$g'(x) = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = e^{-x} (\cos x - \sin x)$

$f(x) = a \cdot f'(x) + b \cdot g'(x)$ に代入すると、

$e^{-x} \cos x = a \cdot (-e^{-x} (\cos x + \sin x)) + b \cdot (e^{-x} (\cos x - \sin x))$

$\cos x = -a (\cos x + \sin x) + b (\cos x - \sin x)$

$\cos x = (-a + b) \cos x + (-a - b) \sin x$

係数比較により、 $-a + b = 1$, $-a - b = 0$. これを解くと、$a = -\frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{2}$.

$\int_{2\pi}^{3\pi} f(x) dx = \int_{2\pi}^{3\pi} e^{-x} \cos x dx$

$I = \int e^{-x} \cos x dx$ を求める。

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx$

$= -e^{-x} \cos x - (-e^{-x} \sin x + \int -e^{-x} \sin x dx)$

$= -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - \int e^{-x} \cos x dx$

$= -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I$

$2I = e^{-x} (\sin x - \cos x)$

$I = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x)$

$\int_{2\pi}^{3\pi} e^{-x} \cos x dx = [\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x - \cos x)]_{2\pi}^{3\pi}$

$= \frac{1}{2} e^{-3\pi} (\sin 3\pi - \cos 3\pi) - \frac{1}{2} e^{-2\pi} (\sin 2\pi - \cos 2\pi)$

$= \frac{1}{2} e^{-3\pi} (0 - (-1)) - \frac{1}{2} e^{-2\pi} (0 - 1) = \frac{1}{2} e^{-3\pi} + \frac{1}{2} e^{-2\pi}$

$= \frac{1}{2e^{3\pi}} + \frac{1}{2e^{2\pi}}$.

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) $\frac{1}{e^2}$

(3) $a = -\frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{2}$, $\int_{2\pi}^{3\pi} f(x) dx = \frac{1}{2e^{3\pi}} + \frac{1}{2e^{2\pi}}$. ただし、$2\pi < 3\pi$ とする。