関数 $y = xe^x$ の増減表を作成し、グラフを描く問題です。また、$x$ が 0 に近いときの $(1+x)^3$ の近似式を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^x$ の増減表を作成し、グラフを描く問題です。また、$x$ が 0 に近いときの $(1+x)^3$ の近似式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y=xe^x$ の増減表の作成

* **導関数を求める:**

$y' = e^x + xe^x = e^x(1+x)$

$y'' = e^x(1+x) + e^x = e^x(2+x)$

* **$y'=0$ となる $x$ を求める:**

$e^x(1+x) = 0$

$e^x > 0$ なので、$1+x=0$ より $x=-1$。

* **$y''=0$ となる $x$ を求める:**

$e^x(2+x) = 0$

$e^x > 0$ なので、$2+x = 0$ より $x=-2$。

* **増減表を作成する:**

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| y' | - | - | - | 0 | + |

| y'' | - | 0 | + | + | + |

| y | ↘ | 変曲点 | ↘ | 極小 | ↗ |

増減表を埋めるために必要な情報を計算します。

* $x = -2$ のとき、$y = -2e^{-2} \approx -2/2.7^2 \approx -2/7.29 \approx -0.27$

* $x = -1$ のとき、$y = -e^{-1} \approx -1/2.7 \approx -0.37$

上記の計算と増減表より、$x=-1$ で極小値 $y = -e^{-1}$ を取ることが分かります。$x=-2$ で変曲点を持つことがわかります。

(2) グラフの描画

増減表を基に、グラフを描きます。

$e \approx 2.7$ として、概形を描きます。

* $x \to -\infty$ のとき、$y \to 0$（$x$ が負の無限大に近づくとき、指数関数の方が速く 0 に近づくため）

* $x=-1$ で極小値 $-e^{-1} \approx -0.37$ をとる。

* $x=0$ のとき、$y=0$

* $x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$

(3) $x$ が 0 に近いときの $(1+x)^3$ の近似式

二項定理を用いると、

$(1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$

$x$ が 0 に近いとき、$x^2$ や $x^3$ は無視できるほど小さくなるため、

$(1+x)^3 \approx 1 + 3x$

3. 最終的な答え

* 増減表：上記参照

* グラフ：上記参照

* $(1+x)^3$ の近似式：$1+3x$