$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\tan \theta$ を求めよ。ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ とする。

1. 問題の内容

$\cos \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\tan \theta$ を求めよ。ただし、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、$\sin \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\cos \theta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\sin \theta > 0$ であるから、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$