与えられた2次方程式 $x^2 + 2(m-3)x + 3m + 19 = 0$ が実数解を持つための、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 + 2(m-3)x + 3m + 19 = 0$ が実数解を持つための、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \ge 0$ であることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (2(m-3))^2 - 4(1)(3m+19)$

$D = 4(m^2 - 6m + 9) - 12m - 76$

$D = 4m^2 - 24m + 36 - 12m - 76$

$D = 4m^2 - 36m - 40$

$D \ge 0$ となる $m$ の範囲を求めます。

$4m^2 - 36m - 40 \ge 0$

$m^2 - 9m - 10 \ge 0$

$(m - 10)(m + 1) \ge 0$

この不等式を解くと、$m \le -1$ または $m \ge 10$ となります。

3. 最終的な答え

$m \le -1$ または $m \ge 10$