与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $15x^2 + 14x - 8$ (2) $a^4 - 16$ (3) $x^3 + 2x^2 - x + 6$ (4) $27a^3 - 64b^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $15x^2 + 14x - 8$

(2) $a^4 - 16$

(3) $x^3 + 2x^2 - x + 6$

(4) $27a^3 - 64b^3$

2. 解き方の手順

(1) $15x^2 + 14x - 8$

これは二次式なので、因数分解を試みます。

$15x^2 + 14x - 8 = (ax + b)(cx + d)$ とおくと、$ac = 15$、$ad + bc = 14$、$bd = -8$ となる $a, b, c, d$ を探します。

$a = 3$, $c = 5$, $b = 4$, $d = -2$ とすると、$ac = 15$, $ad + bc = 3(-2) + 4(5) = -6 + 20 = 14$, $bd = 4(-2) = -8$ となるので、

$15x^2 + 14x - 8 = (3x + 4)(5x - 2)$

(2) $a^4 - 16$

これは二乗の差の形を利用して因数分解します。

$a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 = (a^2 + 4)(a^2 - 4)$

さらに、$a^2 - 4$ も二乗の差の形なので、

$a^2 - 4 = (a + 2)(a - 2)$

したがって、$a^4 - 16 = (a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$

(3) $x^3 + 2x^2 - x + 6$

因数定理を使って因数分解します。

$P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 6$ とおきます。

$P(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - (-3) + 6 = -27 + 18 + 3 + 6 = 0$

よって、$x + 3$ は $P(x)$ の因数です。

$x^3 + 2x^2 - x + 6$ を $x + 3$ で割ると、

$x^3 + 2x^2 - x + 6 = (x + 3)(x^2 - x + 2)$

$x^2 - x + 2$ は判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$ より、実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、$x^3 + 2x^2 - x + 6 = (x + 3)(x^2 - x + 2)$

(4) $27a^3 - 64b^3$

これは三乗の差の形を利用して因数分解します。

$27a^3 - 64b^3 = (3a)^3 - (4b)^3 = (3a - 4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2)$

$27a^3 - 64b^3 = (3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x + 4)(5x - 2)$

(2) $(a^2 + 4)(a + 2)(a - 2)$

(3) $(x + 3)(x^2 - x + 2)$

(4) $(3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$