$\sqrt{20-n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{20-n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{20-n}$ が整数となるためには、$20-n$ が0以上の整数の二乗でなければならない。つまり、$20-n = k^2$ となるような整数 $k$ が存在する必要がある。

$n$ は自然数であるから、$n \ge 1$ であり、したがって、$20-n \le 19$ である。

$20 - n = k^2$ より、$k^2 \le 19$ となるような整数 $k$ を探す。

$k^2 \ge 0$ であるから、$k$ は $0, 1, 2, 3, 4$ のいずれかの値をとる。

* $k = 0$ のとき、$20 - n = 0^2 = 0$ なので、$n = 20$

* $k = 1$ のとき、$20 - n = 1^2 = 1$ なので、$n = 19$

* $k = 2$ のとき、$20 - n = 2^2 = 4$ なので、$n = 16$

* $k = 3$ のとき、$20 - n = 3^2 = 9$ なので、$n = 11$

* $k = 4$ のとき、$20 - n = 4^2 = 16$ なので、$n = 4$

以上より、$n$ の値は $4, 11, 16, 19, 20$ である。

3. 最終的な答え

$n = 4, 11, 16, 19, 20$