$b = \sqrt{\frac{108a}{5}}$ が整数となるとき、自然数 $a$ と $b$ を求めます。ただし、$20 < b < 40$ を満たす必要があります。

1. 問題の内容

$b = \sqrt{\frac{108a}{5}}$ が整数となるとき、自然数 $a$ と $b$ を求めます。ただし、$20 < b < 40$ を満たす必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$108$ を素因数分解します。

$108 = 2^2 \times 3^3$

したがって、

$b = \sqrt{\frac{2^2 \times 3^3 a}{5}}$

$b$ が整数であるためには、根号の中身が平方数でなければなりません。つまり、$\frac{2^2 \times 3^3 a}{5}$ が平方数である必要があります。

そのためには、$a$ は $5 \times 3 \times k^2$ の形で表される必要があります（$k$ は自然数）。

$a = 15k^2$

このとき、$b = \sqrt{\frac{2^2 \times 3^3 \times 15k^2}{5}} = \sqrt{2^2 \times 3^4 \times k^2} = 2 \times 3^2 \times k = 18k$

問題文より、$20 < b < 40$ なので、$20 < 18k < 40$

$\frac{20}{18} < k < \frac{40}{18}$

$\frac{10}{9} < k < \frac{20}{9}$

$1.11 < k < 2.22$

$k$ は自然数なので、$k=2$

$a = 15k^2 = 15 \times 2^2 = 15 \times 4 = 60$

$b = 18k = 18 \times 2 = 36$

3. 最終的な答え

$a = 60$

$b = 36$