男子4人と女子3人、合計7人の生徒がいる。 (1) 7人の生徒が1列に並んで写真を撮る。両端がともに男子である並び方は何通りか。また、女子どうしが隣り合わない並び方は何通りか。 (2) 7人の生徒が、4人掛けの円卓と3人掛けの円卓に分かれて座り食事をする。円卓に座る座り方は全部で何通りか。また、この中で男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方は何通りか。 (3) 7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法は何通りか。この中で、どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方は何通りか。

1. 問題の内容

男子4人と女子3人、合計7人の生徒がいる。

(1) 7人の生徒が1列に並んで写真を撮る。両端がともに男子である並び方は何通りか。また、女子どうしが隣り合わない並び方は何通りか。

(2) 7人の生徒が、4人掛けの円卓と3人掛けの円卓に分かれて座り食事をする。円卓に座る座り方は全部で何通りか。また、この中で男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方は何通りか。

(3) 7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法は何通りか。この中で、どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1)

* 両端が男子である並び方：

まず、両端に男子を並べる方法は $4 \times 3 = 12$ 通り。

残りの5人を並べる方法は $5! = 120$ 通り。

したがって、両端が男子である並び方は $12 \times 120 = 1440$ 通り。

* 女子どうしが隣り合わない並び方：

まず、男子4人を並べる方法は $4! = 24$ 通り。

次に、男子4人の間にできる5つのスペースに女子3人を並べる方法は ${}_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

したがって、女子どうしが隣り合わない並び方は $24 \times 60 = 1440$ 通り。

(2)

* 円卓への座り方：

7人を4人と3人のグループに分ける方法は ${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35$ 通り。

4人掛けの円卓の座り方は $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。

3人掛けの円卓の座り方は $(3-1)! = 2! = 2$ 通り。

したがって、円卓への座り方は $35 \times 6 \times 2 = 420$ 通り。

* 男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方：

まず、男子4人を2人ずつのグループに分ける方法は $\frac{{}_4C_2 \times {}_2C_2}{2!} = \frac{6 \times 1}{2} = 3$ 通り。

次に、女子3人を3人掛けの円卓に座らせる。この方法は $(3-1)! = 2! = 2$ 通り。

4人掛けの円卓に男子2人を座らせる方法は $(2-1)! = 1! = 1$ 通り。

3人掛けの円卓に2人の男子を並べる並び方は1通り。

4人掛けの円卓に男子2人を並べる並び方は1通り。

座席を選ぶ方法が４席と３席なので、並び方は１通りずつ。

したがって、この場合の座り方は $3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$ 通り。

二つの円卓が区別できるので、$3 \times 2 \times 3! \times 2! = 3 \times 2 \times 6 \times 2 = 72$ 通り。

男子2人ずつの分け方は $3$通り。女子3人の並び方が $2$通り。それぞれのテーブルで男子の並び方は$1$通りなので、$3 \times 2 = 6$通り。

(3)

* 3つの組に分ける方法：

7人を2人、2人、3人のグループに分ける方法は $\frac{{}_7C_2 \times {}_5C_2 \times {}_3C_3}{2!} = \frac{21 \times 10 \times 1}{2} = 105$ 通り。

* どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方：

まず、女子3人を3つの組に分けることを考える。

女子が1人ずつ各組に入ることが可能である。

(i) 男子がいない組がある場合：

1つの組に女子3人が入る場合、残りの2つの組に男子を分ける必要があり、あり得ない。

1つの組に女子2人が入る場合、 残りの1人は別の組に入り、残った組に男子を入れなければならない。あり得ない。

(ii) 全ての組に男子が少なくとも1人含まれる分け方：

7人を2人、2人、3人の組に分ける組み合わせは105通り。

どの組にも男子が少なくとも1人含まれない場合、3人の組に女子3人が入る場合のみ。

この場合、2人、2人の組には男子4人を分ける必要があるが、男子を2人ずつ分ける方法は3通りある。

全体から、女子3人が一つの組に入り、残りの組に男子のみが入る場合を引けば良い。

女子3人が3人の組に入る場合の数は1通りである。このとき、残りの4人の男子を2人ずつの組に分ける方法は${}_4C_2/2! = 3$ 通りである。

したがって、どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方は $105 - 3 = 102$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 両端がともに男子である並び方：1440通り

女子どうしが隣り合わない並び方：1440通り

(2) 円卓に座る座り方：420通り

男子が2人ずつ2つの円卓に分かれて座る座り方：72通り

(3) 3つの組に分ける方法：105通り

どの組にも男子が少なくとも1人含まれる分け方：102通り