太郎さんが5日間毎日30本のフリースローを行った記録がある。記録のうち1つの曜日の記録が間違っており、その記録を修正したところ、5日間の平均値と中央値がともに15本になった。間違っていた曜日とその修正後の値を求める。

1. 問題の内容

太郎さんが5日間毎日30本のフリースローを行った記録がある。記録のうち1つの曜日の記録が間違っており、その記録を修正したところ、5日間の平均値と中央値がともに15本になった。間違っていた曜日とその修正後の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、現在の5日間の合計本数を計算します。

$11 + 14 + 12 + 21 + 15 = 73$ 本

次に、平均値が15本になるためには、5日間の合計が何本にならなければならないかを計算します。

$15 \times 5 = 75$ 本

したがって、合計を75本にするためには、間違った記録を$75 - 73 = 2$本増やす必要があります。

次に、中央値が15本になるためには、5日間のデータを小さい順に並べたとき、真ん中の値が15本になる必要があります。現在のデータを小さい順に並べると、11, 12, 14, 15, 21です。中央値は14本です。

ここで、修正前のデータを、$x$本であったとします。修正後のデータを$n$本としたとき、$n=x+2$が成り立つ必要があります。

中央値が15本になるためには、修正後のデータを含めて小さい順に並べたとき、中央の値が15である必要があります。

各曜日について、間違っていた場合を考えます。

* 月曜日(11本)が間違っていた場合: 修正後の値は$11 + 2 = 13$本。データは12, 13, 14, 15, 21となり、中央値は14本なので矛盾。

* 火曜日(14本)が間違っていた場合: 修正後の値は$14 + 2 = 16$本。データは11, 12, 15, 16, 21となり、中央値は15本となり、条件を満たします。

* 水曜日(12本)が間違っていた場合: 修正後の値は$12 + 2 = 14$本。データは11, 14, 14, 15, 21となり、中央値は14本なので矛盾。

* 木曜日(21本)が間違っていた場合: 修正後の値は$21 + 2 = 23$本。これはありえません(30本以上決められない)。今回の修正は「ある曜日の記録をn本に訂正する」なので、修正後の値は必ず３０以下にならなければいけません。修正値は元々の値と2本しか違わないため、訂正前の値が30以上の場合は修正ができません。

* 金曜日(15本)が間違っていた場合: 修正後の値は$15+2=17$本。データは11,12,14,17,21となり、中央値は14本なので矛盾。

したがって、火曜日が間違っていて、修正後の値は16本であると考えられます。

3. 最終的な答え

間違っていた曜日は火曜日で、修正後の値$n$は16です。