大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の各場合に何通りの出方があるかを求める。 1. 目の和が8になる場合 2. 目の積が10になる場合 3. 目の大きさが、大、中、小の順に小さくなる場合

## 数学の問題

1. **問題の内容**

大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の各場合に何通りの出方があるかを求める。

1. 目の和が8になる場合

2. 目の積が10になる場合

3. 目の大きさが、大、中、小の順に小さくなる場合

2. **解き方の手順**

**(1) 目の和が8になる場合**

大小中のサイコロの目をそれぞれ $x, y, z$ とする。

$x, y, z$ は $1 \le x, y, z \le 6$ の整数であり、

$x + y + z = 8$ を満たす組み合わせを求める。

考えられる組み合わせは以下の通り。

* (1, 1, 6) : 3通り

* (1, 2, 5) : 6通り

* (1, 3, 4) : 6通り

* (2, 2, 4) : 3通り

* (2, 3, 3) : 3通り

それぞれの組み合わせについて、サイコロの区別（大中小）を考慮した順列の数を数える。

* (1, 1, 6)の場合、(1, 1, 6), (1, 6, 1), (6, 1, 1) の3通り。

* (1, 2, 5)の場合、(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1) の6通り。

* (1, 3, 4)の場合、(1, 3, 4), (1, 4, 3), (3, 1, 4), (3, 4, 1), (4, 1, 3), (4, 3, 1) の6通り。

* (2, 2, 4)の場合、(2, 2, 4), (2, 4, 2), (4, 2, 2) の3通り。

* (2, 3, 3)の場合、(2, 3, 3), (3, 2, 3), (3, 3, 2) の3通り。

したがって、合計は $3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$ 通り。

**(2) 目の積が10になる場合**

$x, y, z$ は $1 \le x, y, z \le 6$ の整数であり、

$x \cdot y \cdot z = 10$ を満たす組み合わせを求める。

10を素因数分解すると $10 = 2 \cdot 5$ である。

したがって、目の組み合わせは(1, 2, 5)のみである。

サイコロの区別を考慮すると、(1, 2, 5), (1, 5, 2), (2, 1, 5), (2, 5, 1), (5, 1, 2), (5, 2, 1) の6通り。

**(3) 目の大きさが、大中小の順に小さくなる場合**

$x, y, z$ をそれぞれ大、中、小のサイコロの目とすると、

$6 \ge x > y > z \ge 1$ を満たす組み合わせを求める。

これは、1から6までの数字から異なる3つの数字を選ぶ組み合わせの数に等しい。

組み合わせの数は、

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

3. **最終的な答え**

1. 目の和が8になる場合：21通り

2. 目の積が10になる場合：6通り

3. 目の大きさが、大中小の順に小さくなる場合：20通り