与えられた粗脂肪率のデータ（10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2）を用いて、母分散$\sigma^2$ の99%信頼区間を求める問題です。母集団は平均値10.2909の正規分布に従うことが分かっています。

1. 問題の内容

与えられた粗脂肪率のデータ（10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2）を用いて、母分散$\sigma^2$ の99%信頼区間を求める問題です。母集団は平均値10.2909の正規分布に従うことが分かっています。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータから不偏分散 $s^2$ を計算します。次に、自由度 $n-1$ のカイ二乗分布を用いて、母分散の信頼区間を計算します。

手順１：サンプルサイズ $n$ を確認します。

サンプルサイズは12なので、$n = 12$ です。

手順２：不偏分散 $s^2$ を計算します。

まず、標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

$$\bar{x} = \frac{10.4 + 11.1 + 10.8 + 11.1 + 10.9 + 11.3 + 10.3 + 9.7 + 8.6 + 9.0 + 10.0 + 9.2}{12} = \frac{132.4}{12} = 11.0333$$

次に、不偏分散 $s^2$ を計算します。

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

$$s^2 = \frac{1}{11} [(10.4 - 11.0333)^2 + (11.1 - 11.0333)^2 + (10.8 - 11.0333)^2 + (11.1 - 11.0333)^2 + (10.9 - 11.0333)^2 + (11.3 - 11.0333)^2 + (10.3 - 11.0333)^2 + (9.7 - 11.0333)^2 + (8.6 - 11.0333)^2 + (9.0 - 11.0333)^2 + (10.0 - 11.0333)^2 + (9.2 - 11.0333)^2]$$

$$s^2 = \frac{1}{11} [0.4018 + 0.0045 + 0.0545 + 0.0045 + 0.0178 + 0.0702 + 0.5378 + 1.7778 + 5.9218 + 4.1345 + 1.0678 + 3.3595] = \frac{17.3525}{11} = 1.5775$$

手順３：カイ二乗分布を用いて信頼区間を計算します。

信頼係数99%なので、$\alpha = 0.01$ となります。自由度 $n-1 = 11$ のカイ二乗分布における $\chi^2_{1-\alpha/2}$ と $\chi^2_{\alpha/2}$ を求めます。

$\chi^2_{0.995, 11} = 2.603$

$\chi^2_{0.005, 11} = 26.757$

母分散の99%信頼区間は以下の式で計算できます。

$$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}$$

$$\frac{11 \times 1.5775}{26.757} < \sigma^2 < \frac{11 \times 1.5775}{2.603}$$

$$\frac{17.3525}{26.757} < \sigma^2 < \frac{17.3525}{2.603}$$

$$0.6485 < \sigma^2 < 6.6665$$

3. 最終的な答え

$0.6485 < \sigma^2 < 6.6665$