ある都市で運転免許証保有者10人を無作為に抽出し、1ヶ月当たりの自動車運転時間を調査したところ、標本平均は12.3時間、標本標準偏差（不偏標準偏差）は3.0時間であった。 (1) 母標準偏差が2.5時間と既知であるとき、母平均$\mu$を95%の信頼係数で区間推定する。 (2) 母平均、母標準偏差が共に未知であるとき、母分散$\sigma^2$を99%の信頼係数で区間推定する。 数値は小数第2位を四捨五入して、小数第1位まで求める。

1. 問題の内容

ある都市で運転免許証保有者10人を無作為に抽出し、1ヶ月当たりの自動車運転時間を調査したところ、標本平均は12.3時間、標本標準偏差（不偏標準偏差）は3.0時間であった。

(1) 母標準偏差が2.5時間と既知であるとき、母平均$\mu$を95%の信頼係数で区間推定する。

(2) 母平均、母標準偏差が共に未知であるとき、母分散$\sigma^2$を99%の信頼係数で区間推定する。

数値は小数第2位を四捨五入して、小数第1位まで求める。

2. 解き方の手順

(1) 母標準偏差が既知の場合の母平均の信頼区間

母標準偏差$\sigma$が既知の場合、母平均$\mu$の信頼区間は次式で与えられる。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

* $\bar{x}$：標本平均

* $\sigma$：母標準偏差

* $n$：標本サイズ

* $z_{\alpha/2}$：標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点

信頼係数が95%の場合、$\alpha = 0.05$となり、$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$である。

与えられた値は、$\bar{x} = 12.3$、$\sigma = 2.5$、$n = 10$である。

したがって、信頼区間は

$12.3 \pm 1.96 \frac{2.5}{\sqrt{10}}$

$12.3 \pm 1.96 \times 0.7906$

$12.3 \pm 1.55$

下限：$12.3 - 1.55 = 10.75 \approx 10.8$

上限：$12.3 + 1.55 = 13.85 \approx 13.9$

(2) 母平均、母標準偏差が未知の場合の母分散の信頼区間

母平均、母標準偏差が未知の場合、母分散$\sigma^2$の信頼区間は次式で与えられる。

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

ここで、

* $n$：標本サイズ

* $s^2$：不偏標本分散

* $\chi^2_{\alpha/2, n-1}$：自由度$n-1$のカイ二乗分布の上側$\alpha/2$パーセント点

* $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$：自由度$n-1$のカイ二乗分布の上側$1-\alpha/2$パーセント点

信頼係数が99%の場合、$\alpha = 0.01$となり、$\alpha/2 = 0.005$、$1-\alpha/2 = 0.995$である。

与えられた値は、$n = 10$、$s = 3.0$であるので、$s^2 = 3.0^2 = 9.0$。自由度は$n-1 = 9$である。

カイ二乗分布表から、$\chi^2_{0.005, 9} = 23.589$、$\chi^2_{0.995, 9} = 1.735$である。

したがって、信頼区間は

$\frac{(10-1) \times 9}{23.589} < \sigma^2 < \frac{(10-1) \times 9}{1.735}$

$\frac{81}{23.589} < \sigma^2 < \frac{81}{1.735}$

$3.433 < \sigma^2 < 46.686$

小数第2位を四捨五入して、

$3.4 < \sigma^2 < 46.7$

3. 最終的な答え

(1) $10.8 < \mu < 13.9$

(2) $3.4 < \sigma^2 < 46.7$