ある都市で10人の運転免許証保有者を無作為抽出し、1ヶ月当たりの自動車運転時間を調査した。標本平均は16.4時間、標本標準偏差は2.3時間であった。 (1) 母標準偏差が2.5時間と既知であるとき、母平均の自動車運転時間について95%信頼区間を求めよ。 (2) 母平均、母標準偏差が共に未知であるとき、母分散について99%信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

ある都市で10人の運転免許証保有者を無作為抽出し、1ヶ月当たりの自動車運転時間を調査した。標本平均は16.4時間、標本標準偏差は2.3時間であった。

(1) 母標準偏差が2.5時間と既知であるとき、母平均の自動車運転時間について95%信頼区間を求めよ。

(2) 母平均、母標準偏差が共に未知であるとき、母分散について99%信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 母標準偏差が既知の場合の母平均の信頼区間は、以下の式で求められる。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

* $\bar{x}$ は標本平均 (16.4)

* $\sigma$ は母標準偏差 (2.5)

* $n$ は標本サイズ (10)

* $z_{\alpha/2}$ は信頼係数に対応する標準正規分布のz値。95%信頼区間の場合、$z_{0.025} = 1.96$

数値を代入して計算する。

$16.4 - 1.96 \frac{2.5}{\sqrt{10}} < \mu < 16.4 + 1.96 \frac{2.5}{\sqrt{10}}$

$16.4 - 1.96 \times 0.7906 < \mu < 16.4 + 1.96 \times 0.7906$

$16.4 - 1.55 < \mu < 16.4 + 1.55$

$14.85 < \mu < 17.95$

小数第2位を四捨五入して、小数第1位まで求めると、$14.9 < \mu < 18.0$

(2) 母分散が未知の場合の母分散の信頼区間は、カイ二乗分布を用いて以下の式で求められる。

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

ここで、

* $n$ は標本サイズ (10)

* $s$ は標本標準偏差 (2.3)

* $\alpha$ は有意水準 (1 - 信頼係数 = 1 - 0.99 = 0.01)

* $\chi^2_{\alpha/2, n-1}$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布の上側 $\alpha/2$ 点。

* $\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布の下側 $\alpha/2$ 点。

99%信頼区間なので、$\alpha = 0.01$。自由度 $n-1 = 9$ のカイ二乗分布表から、

$\chi^2_{0.005, 9} = 23.589$ および $\chi^2_{0.995, 9} = 1.735$

$s^2 = (2.3)^2 = 5.29$

$\frac{(10-1) \times 5.29}{23.589} < \sigma^2 < \frac{(10-1) \times 5.29}{1.735}$

$\frac{9 \times 5.29}{23.589} < \sigma^2 < \frac{9 \times 5.29}{1.735}$

$\frac{47.61}{23.589} < \sigma^2 < \frac{47.61}{1.735}$

$2.018 < \sigma^2 < 27.438$

小数第2位を四捨五入して、小数第1位まで求めると、$2.0 < \sigma^2 < 27.4$

3. 最終的な答え

(1) $14.9 < \mu < 18.0$

(2) $2.0 < \sigma^2 < 27.4$