与えられたデータから母分散の95%信頼区間を求める問題です。データは飼料の粗脂肪率の測定値であり、母集団は正規分布に従うことが分かっていますが、母平均は未知です。データは以下の通りです。 10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

1. 問題の内容

与えられたデータから母分散の95%信頼区間を求める問題です。データは飼料の粗脂肪率の測定値であり、母集団は正規分布に従うことが分かっていますが、母平均は未知です。データは以下の通りです。

10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

2. 解き方の手順

母分散の信頼区間は、カイ二乗分布を用いて計算します。

ステップ1: 標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{10.4 + 11.1 + 10.8 + 11.1 + 10.9 + 11.3 + 10.3 + 9.7 + 8.6 + 9.0 + 10.0 + 9.2}{12} = \frac{132.4}{12} = 11.0333$

ステップ2: 不偏分散 $s^2$ を計算します。

まず、偏差の二乗和を計算します。

$(10.4-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.8-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.9-11.0333)^2 + (11.3-11.0333)^2 + (10.3-11.0333)^2 + (9.7-11.0333)^2 + (8.6-11.0333)^2 + (9.0-11.0333)^2 + (10.0-11.0333)^2 + (9.2-11.0333)^2$

$= 0.4001 + 0.0045 + 0.0545 + 0.0045 + 0.0178 + 0.0711 + 0.5377 + 1.7777 + 5.9256 + 4.1345 + 1.0678 + 3.3600$

$= 17.3558$

不偏分散は、偏差の二乗和を自由度(n-1)で割ったものです。

$s^2 = \frac{17.3558}{12-1} = \frac{17.3558}{11} = 1.5778$

ステップ3: カイ二乗分布を用いて信頼区間を計算します。

信頼係数95%なので、$\alpha = 0.05$ です。自由度は $n-1 = 12-1 = 11$ です。

カイ二乗分布表から、$\chi^2_{0.025, 11} = 21.920$ および $\chi^2_{0.975, 11} = 3.816$ を得ます。

ステップ4: 母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を計算します。

信頼区間は次の式で与えられます。

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

$\frac{11 \times 1.5778}{21.920} < \sigma^2 < \frac{11 \times 1.5778}{3.816}$

$\frac{17.3558}{21.920} < \sigma^2 < \frac{17.3558}{3.816}$

$0.7918 < \sigma^2 < 4.548$

3. 最終的な答え

0. 7918 < $\sigma^2$ < 4.548