全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}$ と $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $A \cup B$ (2) $A \cap B$ (3) $\overline{A}$ (4) $A \cap \overline{B}$ (5) $\overline{A \cup B}$ (6) $\overline{A} \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}$ と $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $A \cup B$

(2) $A \cap B$

(3) $\overline{A}$

(4) $A \cap \overline{B}$

(5) $\overline{A \cup B}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合なので、$A$ と $B$ の要素をすべて含む集合である。

$A = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}$, $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ より、

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(2) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素からなる集合である。

$A = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}$, $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ より、

$A \cap B = \{1, 5, 9\}$

(3) $\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素からなる集合である。

$A = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}$, $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ より、

$\overline{A} = \{3, 4, 7, 8\}$

(4) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A$ に含まれ、$B$ に含まれない要素からなる集合である。まず $\overline{B}$ を求める。

$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ より、

$\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$A = \{1, 2, 5, 6, 9, 10\}$, $\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ より、

$A \cap \overline{B} = \{2, 6, 10\}$

(5) $\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合なので、$U$ の要素のうち $A \cup B$ に含まれない要素からなる集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$, $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ より、

$\overline{A \cup B} = \{4, 8\}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合なので、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の要素をすべて含む集合である。

$\overline{A} = \{3, 4, 7, 8\}$, $\overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ より、

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10\}$

(2) $A \cap B = \{1, 5, 9\}$

(3) $\overline{A} = \{3, 4, 7, 8\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{2, 6, 10\}$

(5) $\overline{A \cup B} = \{4, 8\}$

(6) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 10\}$