与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、$a$ について整理する。

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+2bc) + (b^2c+c^2b)$

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$(b+c)[a^2 + ab + ac + bc]$

$(b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$(b+c)(a+b)(a+c)$

これを並び替えて、

$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$