$x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とし、$n$ を正の整数とする。このとき、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n}$ の取り得る値をすべて求める。

1. 問題の内容

$x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とし、$n$ を正の整数とする。このとき、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n}$ の取り得る値をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 1$ を解く。

$x^3 - 1 = 0$

$(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x^2 + x + 1 = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$ の解は、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ または $\omega = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

どちらの場合でも、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ である。

$\omega^3 = 1$ より、$\omega^n$ は $n$ を3で割った余りに応じて値が変化する。

$n = 3k$ のとき、$\omega^n = \omega^{3k} = (\omega^3)^k = 1^k = 1$

$n = 3k+1$ のとき、$\omega^n = \omega^{3k+1} = \omega^{3k} \omega = \omega$

$n = 3k+2$ のとき、$\omega^n = \omega^{3k+2} = \omega^{3k} \omega^2 = \omega^2$

また、$\frac{1}{\omega^n} = \frac{1}{\omega^n} \frac{\omega^{3-n}}{\omega^{3-n}} = \frac{\omega^{3-n}}{\omega^3} = \omega^{3-n}$

したがって、$\frac{1}{\omega^n}$ も $n$ を3で割った余りに応じて値が変化する。

$n = 3k$ のとき、$\frac{1}{\omega^n} = \frac{1}{\omega^{3k}} = \frac{1}{(\omega^3)^k} = \frac{1}{1^k} = 1$

$n = 3k+1$ のとき、$\frac{1}{\omega^n} = \frac{1}{\omega^{3k+1}} = \frac{1}{\omega^{3k} \omega} = \frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2+\omega+1-\omega^2-\omega}{\omega} = \frac{-\omega^2-\omega}{\omega} = -\omega-\frac{\omega^2+\omega}{\omega}$

$\frac{1}{\omega} = \omega^2$

$n = 3k+2$ のとき、$\frac{1}{\omega^n} = \frac{1}{\omega^{3k+2}} = \frac{1}{\omega^{3k} \omega^2} = \frac{1}{\omega^2} = \omega$

$\omega^n + \frac{1}{\omega^n}$ の取りうる値を調べる。

$n = 3k$ のとき、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n} = 1 + 1 = 2$

$n = 3k+1$ のとき、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n} = \omega + \omega^2 = -1$ （∵$\omega^2 + \omega + 1 = 0$）

$n = 3k+2$ のとき、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n} = \omega^2 + \omega = -1$ （∵$\omega^2 + \omega + 1 = 0$）

3. 最終的な答え

2, -1