次の方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-1|=3$ (3) $|x-2|<4$ (4) $|x+6| \leq 1$ (6) $|x+5| \geq 8$

1. 問題の内容

次の方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-1|=3$

(3) $|x-2|<4$

(4) $|x+6| \leq 1$

(6) $|x+5| \geq 8$

2. 解き方の手順

(1) 絶対値の方程式 $|x-1|=3$ を解きます。

絶対値の定義より、$x-1 = 3$ または $x-1 = -3$。

$x-1 = 3$ のとき、両辺に1を足すと $x = 4$。

$x-1 = -3$ のとき、両辺に1を足すと $x = -2$。

(3) 絶対値の不等式 $|x-2|<4$ を解きます。

絶対値の性質より、$-4 < x-2 < 4$。

各辺に2を足すと、$-4+2 < x < 4+2$ より、$-2 < x < 6$。

(4) 絶対値の不等式 $|x+6| \leq 1$ を解きます。

絶対値の性質より、$-1 \leq x+6 \leq 1$。

各辺から6を引くと、$-1-6 \leq x \leq 1-6$ より、$-7 \leq x \leq -5$。

(6) 絶対値の不等式 $|x+5| \geq 8$ を解きます。

絶対値の性質より、$x+5 \geq 8$ または $x+5 \leq -8$。

$x+5 \geq 8$ のとき、両辺から5を引くと $x \geq 3$。

$x+5 \leq -8$ のとき、両辺から5を引くと $x \leq -13$。

3. 最終的な答え

(1) $x=4, -2$

(3) $-2 < x < 6$

(4) $-7 \leq x \leq -5$

(6) $x \geq 3, x \leq -13$