$n$ を自然数とするとき、$n$, $n+2$, $n+4$ が全て素数であるのは、$n=3$ の場合だけであることを示せ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$n$, $n+2$, $n+4$ が全て素数であるのは、$n=3$ の場合だけであることを示せ。

2. 解き方の手順

$n$ を自然数とする。$n, n+2, n+4$ のうち少なくとも1つは3の倍数であることを示す。

$n$ を3で割った余りを考える。

- $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$n$ は3の倍数である。$n$ が素数であるためには $n=3$ でなければならない。このとき、$n+2 = 5$、$n+4 = 7$ であり、これらも素数である。したがって、$n=3$ は条件を満たす。

- $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$n+2 \equiv 1+2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$ となる。つまり、$n+2$ は3の倍数である。$n+2$ が素数であるためには、$n+2 = 3$ でなければならない。このとき、$n=1$ となり、$n$ が素数でないので、$n \equiv 1 \pmod{3}$ は条件を満たさない。

- $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$n+4 \equiv 2+4 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3}$ となる。つまり、$n+4$ は3の倍数である。$n+4$ が素数であるためには、$n+4 = 3$ でなければならない。このとき、$n=-1$ となり、$n$ は自然数ではないので、$n \equiv 2 \pmod{3}$ は条件を満たさない。

以上より、$n, n+2, n+4$ がすべて素数であるのは、$n=3$ の場合のみである。

3. 最終的な答え

$n, n+2, n+4$ がすべて素数であるのは、$n=3$ の場合のみである。