不等式 $|2x-3| < x+1$ を解き、解を $\frac{ア}{イ} < x < ウ$ の形式で答える問題です。分数は既約分数で表す必要があります。

1. 問題の内容

不等式 $|2x-3| < x+1$ を解き、解を $\frac{ア}{イ} < x < ウ$ の形式で答える問題です。分数は既約分数で表す必要があります。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式 $|2x-3| < x+1$ を解きます。

絶対値の定義より、以下の2つの場合に分けて考えます。

(i) $2x-3 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq \frac{3}{2}$ のとき、

$|2x-3| = 2x-3$ となるので、不等式は $2x-3 < x+1$ となります。

これを解くと、

$2x - x < 1 + 3$

$x < 4$

$x \geq \frac{3}{2}$ かつ $x < 4$ なので、$\frac{3}{2} \leq x < 4$

(ii) $2x-3 < 0$ のとき、つまり $x < \frac{3}{2}$ のとき、

$|2x-3| = -(2x-3) = -2x+3$ となるので、不等式は $-2x+3 < x+1$ となります。

これを解くと、

$-2x - x < 1 - 3$

$-3x < -2$

$x > \frac{2}{3}$

$x < \frac{3}{2}$ かつ $x > \frac{2}{3}$ なので、$\frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$

(i)と(ii)の場合を合わせると、$\frac{2}{3} < x < 4$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} < x < 4$