数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$2S_n = 3a_n - 2$ であるとき、次の問いに答えよ。 (1) $a_{n+1} = 3a_n$ であることを示せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

## 27番の問題

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$2S_n = 3a_n - 2$ であるとき、次の問いに答えよ。

(1) $a_{n+1} = 3a_n$ であることを示せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ であることを用いる。$2S_n = 3a_n - 2$ という関係が与えられている。

$n=1$ のとき、$2S_1 = 3a_1 - 2$ より、$2a_1 = 3a_1 - 2$ であるから、$a_1 = 2$。

$n \ge 2$ のとき、$2S_n = 3a_n - 2$ と $2S_{n-1} = 3a_{n-1} - 2$ の差を考えると、

$2(S_n - S_{n-1}) = 3a_n - 3a_{n-1}$。

$S_n - S_{n-1} = a_n$ であるから、$2a_n = 3a_n - 3a_{n-1}$。

よって、$a_n = 3a_{n-1}$ ($n \ge 2$) が成り立つ。

これは、$a_{n+1} = 3a_n$ ($n \ge 1$) と同じである。

(2) (1) より、数列 $\{a_n\}$ は等比数列であり、初項は $a_1 = 2$、公比は $3$ である。

したがって、一般項は $a_n = a_1 \cdot 3^{n-1}$ で与えられる。

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = 3a_n$

(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

## 28番の問題

1. 問題の内容

$a_1 = \frac{1}{4}$, $\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 4n+1$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ がある。次の問いに答えよ。

(1) $b_n = \frac{1}{a_n}$ とするとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = \frac{1}{a_n}$ より、$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = b_{n+1} - b_n = 4n+1$ である。

これは、数列 $\{b_n\}$ の階差数列が $4n+1$ であることを意味する。

$b_1 = \frac{1}{a_1} = 4$ であり、$n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k+1) = 4 + 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 4 + 2n^2 - 2n + n - 1 = 2n^2 - n + 3$.

$n=1$ のとき、$b_1 = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$ であり、これは $b_1 = 4$ と一致する。

よって、$b_n = 2n^2 - n + 3$。

(2) $a_n = \frac{1}{b_n}$ であるから、$a_n = \frac{1}{2n^2 - n + 3}$。

3. 最終的な答え

(1) $b_n = 2n^2 - n + 3$

(2) $a_n = \frac{1}{2n^2 - n + 3}$

## 29番の問題

(1)

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が条件 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$, $b_n = a_{n+1} - a_n$ によって定められるとき、$b_1 = 1$, $b_{n+1} = 2b_n + 1$ を示し、数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$b_1$ を求める。$b_1 = a_2 - a_1$ であり、$a_2 = 2a_1 + 1 - 1 = 2(1) = 2$ より、$b_1 = 2 - 1 = 1$。

次に、$b_{n+1}$ を求める。$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$ であり、$a_{n+2} = 2a_{n+1} + (n+1) - 1 = 2a_{n+1} + n$。

よって、$b_{n+1} = 2a_{n+1} + n - a_{n+1} = a_{n+1} + n$。

一方、$a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ より、$n = a_{n+1} - 2a_n + 1$。

したがって、$b_{n+1} = a_{n+1} + a_{n+1} - 2a_n + 1 = 2a_{n+1} - 2a_n + 1 = 2(a_{n+1} - a_n) + 1 = 2b_n + 1$。

$b_{n+1} = 2b_n + 1$ を変形すると、$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$ となり、数列 $\{b_n + 1\}$ は初項 $b_1 + 1 = 1 + 1 = 2$、公比 $2$ の等比数列である。

よって、$b_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ より、$b_n = 2^n - 1$。

次に、$a_n$ を求める。$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、$a_{n+1} - a_n = 2^n - 1$。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2^k - 1) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} - (n-1) = 1 + 2^n - 2 - n + 1 = 2^n - n$。

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 - 1 = 1$ であり、これは $a_1 = 1$ と一致する。

よって、$a_n = 2^n - n$。

3. 最終的な答え

$b_1 = 1$, $b_{n+1} = 2b_n + 1$

$a_n = 2^n - n$

$b_n = 2^n - 1$

(2)

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が条件 $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 6a_n + 3^{n+1}$, $b_n = \frac{a_n}{3^n}$ によって定められるとき、$b_1 = 1$, $b_{n+1} = 2b_n + 1$ を示し、数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$b_1$ を求める。$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{3}{3} = 1$。

次に、$b_{n+1}$ を求める。$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{6a_n + 3^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{6a_n}{3^{n+1}} + 1 = 2 \cdot \frac{a_n}{3^n} + 1 = 2b_n + 1$。

$b_{n+1} = 2b_n + 1$ を変形すると、$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$ となり、数列 $\{b_n + 1\}$ は初項 $b_1 + 1 = 1 + 1 = 2$、公比 $2$ の等比数列である。

よって、$b_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ より、$b_n = 2^n - 1$。

次に、$a_n$ を求める。$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ より、$a_n = b_n \cdot 3^n = (2^n - 1) \cdot 3^n = 6^n - 3^n$。

3. 最終的な答え

$b_1 = 1$, $b_{n+1} = 2b_n + 1$

$a_n = 6^n - 3^n$

$b_n = 2^n - 1$