$0 \leq a \leq 1$ のとき、$P = \sqrt{a^2 - 4a + 4} - \sqrt{4a^2 + 4a + 1}$ を $a$ の多項式で表す問題。

1. 問題の内容

$0 \leq a \leq 1$ のとき、$P = \sqrt{a^2 - 4a + 4} - \sqrt{4a^2 + 4a + 1}$ を $a$ の多項式で表す問題。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中身を因数分解します。

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

$4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2$

したがって、

$P = \sqrt{(a - 2)^2} - \sqrt{(2a + 1)^2}$

根号を外すと、絶対値記号が必要になります。

$P = |a - 2| - |2a + 1|$

ここで、$0 \leq a \leq 1$ という条件を考慮します。

$a - 2$ は常に負であるため、$|a - 2| = -(a - 2) = 2 - a$ となります。

$2a + 1$ は常に正であるため、$|2a + 1| = 2a + 1$ となります。

したがって、

$P = (2 - a) - (2a + 1)$

$P = 2 - a - 2a - 1$

$P = 1 - 3a$

3. 最終的な答え

$P = -3a + 1$