与えられた複数の関数について、偏導関数、偏微分係数、および極限を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。 (1) $z = \sin(y/x)$ の $z_x$、$z_y$ を求める。 (2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の $z_x(2, 3)$ を求める。 (3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\tan xy})$ の $f_x(\sqrt{\pi/6}, 0)$ を求める。 (4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の $f_x(0, 0)$、$f_y(0, 0)$ を求める。 (5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} \frac{1}{p} (|3x|^p + |2y|^p)$ の $f_x(1, 1)$、$f_y(1, 1)$ を求める。

## 数学演習1 No.9 解答

1. 問題の内容

与えられた複数の関数について、偏導関数、偏微分係数、および極限を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。

(1) $z = \sin(y/x)$ の $z_x$、$z_y$ を求める。

(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の $z_x(2, 3)$ を求める。

(3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\tan xy})$ の $f_x(\sqrt{\pi/6}, 0)$ を求める。

(4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の $f_x(0, 0)$、$f_y(0, 0)$ を求める。

(5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} \frac{1}{p} (|3x|^p + |2y|^p)$ の $f_x(1, 1)$、$f_y(1, 1)$ を求める。

2. 解き方の手順

**(1) $z = \sin(y/x)$ の $z_x$、$z_y$ を求める**

* $z_x$ を求める。

* $y/x$ を $x$ で偏微分すると $-y/x^2$ になる。

* $z_x = \cos(y/x) \cdot (-y/x^2) = -\frac{y}{x^2}\cos\left(\frac{y}{x}\right)$

* $z_y$ を求める。

* $y/x$ を $y$ で偏微分すると $1/x$ になる。

* $z_y = \cos(y/x) \cdot (1/x) = \frac{1}{x}\cos\left(\frac{y}{x}\right)$

**(2) $z = \log(x^2 + y^2)$ の $z_x(2, 3)$ を求める**

* $z_x$ を求める。

* $z_x = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

* $z_x(2, 3)$ を求める。

* $z_x(2, 3) = \frac{2 \cdot 2}{2^2 + 3^2} = \frac{4}{4 + 9} = \frac{4}{13}$

**(3) $f(x, y) = \cos(x^2 e^{\tan xy})$ の $f_x(\sqrt{\pi/6}, 0)$ を求める**

* $f_x$ を求める。

* $f_x = -\sin(x^2 e^{\tan xy}) \cdot (2x e^{\tan xy} + x^2 e^{\tan xy} \cdot \frac{y}{\cos^2(xy)}) = -\sin(x^2 e^{\tan xy}) \cdot \left(2x e^{\tan xy} + \frac{x^2y e^{\tan xy}}{\cos^2(xy)}\right)$

* $f_x(\sqrt{\pi/6}, 0)$ を求める。

* $f_x(\sqrt{\pi/6}, 0) = -\sin((\pi/6) e^0) \cdot (2\sqrt{\pi/6} e^0 + 0) = -\sin(\pi/6) \cdot 2\sqrt{\pi/6} = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\pi/6} = -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$

**(4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ の $f_x(0, 0)$、$f_y(0, 0)$ を求める**

偏微分の定義に従って計算します。

* $f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 + 0} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$

この極限は存在しません（$h \to 0^+$ で 1, $h \to 0^-$ で -1）。よって、$f_x(0, 0)$ は存在しない。

* $f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{0 + k^4} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^2}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0$

よって、$f_y(0, 0) = 0$

**(5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} \frac{1}{p} (|3x|^p + |2y|^p)$ の $f_x(1, 1)$、$f_y(1, 1)$ を求める**

* $f(1, 1)$ を計算する。$x=1, y=1$を代入すると、

$f(1, 1) = \lim_{p \to \infty} \frac{1}{p} (3^p + 2^p)$. $3^p$のオーダーが支配的なので、

$f(1, 1) = \lim_{p \to \infty} \frac{3^p}{p} = \infty$ となる。

関数が無限大に発散しているので、偏微分はできない。したがって、$f_x(1, 1)$、$f_y(1, 1)$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $z_x = -\frac{y}{x^2}\cos\left(\frac{y}{x}\right)$, $z_y = \frac{1}{x}\cos\left(\frac{y}{x}\right)$

(2) $z_x(2, 3) = \frac{4}{13}$

(3) $f_x(\sqrt{\pi/6}, 0) = -\sqrt{\frac{\pi}{6}}$

(4) $f_x(0, 0)$ は存在しない, $f_y(0, 0) = 0$

(5) $f_x(1, 1)$ は存在しない, $f_y(1, 1)$ は存在しない