領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2y, x \geq 0 \}$ における二重積分 $\iint_D xy^2 dxdy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2y, x \geq 0 \}$ における二重積分 $\iint_D xy^2 dxdy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を調べます。不等式 $x^2 + y^2 \leq 2y$ は、$x^2 + (y-1)^2 \leq 1$ と書き換えられます。これは、中心が $(0, 1)$ で半径が1の円の内部を表します。また、$x \geq 0$ なので、$D$ は円の右半分です。極座標変換を行うと計算が楽になります。

極座標変換: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とします。

このとき、$x^2 + y^2 \leq 2y$ は $r^2 \leq 2r\sin\theta$, つまり $r \leq 2\sin\theta$ となります。また、$x \geq 0$ より $\cos\theta \geq 0$ なので、$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$です。さらに、$r\ge0$も考慮すると、$0\le r \le 2\sin\theta$, $0\le \theta \le \pi/2$ となります。

ヤコビアンは $r$ なので、

$\iint_D xy^2 dxdy = \int_0^{\pi/2} \int_0^{2\sin\theta} (r\cos\theta)(r\sin\theta)^2 r dr d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} \int_0^{2\sin\theta} r^4 \cos\theta \sin^2\theta dr d\theta$

まず、$r$ で積分します。

$\int_0^{2\sin\theta} r^4 dr = \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^{2\sin\theta} = \frac{32}{5} \sin^5\theta$

次に、$\theta$ で積分します。

$\int_0^{\pi/2} \frac{32}{5} \sin^5\theta \cos\theta d\theta = \frac{32}{5} \int_0^{\pi/2} \sin^5\theta \cos\theta d\theta$

$u = \sin\theta$ とおくと、$du = \cos\theta d\theta$ であり、$\theta: 0 \to \pi/2$ に対して、$u: 0 \to 1$ となります。

$\frac{32}{5} \int_0^1 u^5 du = \frac{32}{5} \left[ \frac{u^6}{6} \right]_0^1 = \frac{32}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{16}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{15}$