領域 $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \le 2x, y \ge 0\}$ 上で、2重積分 $\iint_D 3y \,dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \le 2x, y \ge 0\}$ 上で、2重積分 $\iint_D 3y \,dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を理解します。不等式 $x^2 + y^2 \le 2x$ は $(x-1)^2 + y^2 \le 1$ と書き換えられるので、領域$D$は中心が $(1,0)$ 、半径が $1$ の円の内部であり、$y \ge 0$ なので、これは上半円です。

次に、極座標変換を行います。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、$dxdy = r\,drd\theta$ となります。

$x^2 + y^2 \le 2x$ は $r^2 \le 2r\cos\theta$ となり、$r \ge 0$ より $r \le 2\cos\theta$ となります。また、$y \ge 0$ より、$0 \le \theta \le \pi$ である必要があり、さらに $r \ge 0$より、$2\cos\theta \ge 0$ となるので、積分範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ および $\frac{3\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$ となります。

しかし$y \ge 0$ より、$0 \le \theta \le \pi$なので、$0 \le \theta \le \pi/2$となります。

したがって、積分範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$、 $0 \le r \le 2\cos\theta$ となります。

与えられた積分は、

$$\iint_D 3y \,dxdy = \int_0^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} 3r\sin\theta \cdot r \,drd\theta$$

$$= \int_0^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} 3r^2\sin\theta \,drd\theta$$

$$= \int_0^{\pi/2} \left[ r^3 \sin\theta \right]_0^{2\cos\theta} d\theta$$

$$= \int_0^{\pi/2} 8\cos^3\theta \sin\theta \,d\theta$$

ここで、$u = \cos\theta$ とおくと、$du = -\sin\theta d\theta$ となり、積分範囲は $\theta=0$ のとき $u=1$、$\theta=\pi/2$ のとき $u=0$ となります。

$$= \int_1^0 8u^3 (-du)$$

$$= 8 \int_0^1 u^3 du$$

$$= 8 \left[ \frac{1}{4} u^4 \right]_0^1$$

$$= 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$$

3. 最終的な答え

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