関数 $f(x)$ が次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$ $f(x)$ が $x = 0$ で連続となるように、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{x^2 + x}{x} & (x \neq 0) \\

a & (x = 0)

\end{cases}$

$f(x)$ が $x = 0$ で連続となるように、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるためには、次の条件を満たす必要があります。

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$x \neq 0$ における $f(x)$ の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 1)}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 1)$

$x$ が $0$ に近づくとき、$x + 1$ は $1$ に近づきます。したがって、

$\lim_{x \to 0} (x + 1) = 1$

次に、$f(0)$ の値を考えます。問題文より、$f(0) = a$ です。

連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要があるので、

$1 = a$

3. 最終的な答え

$a = 1$