2重積分 $\iint_{D_6} y \,dxdy$ を、領域 $D_6 = \{(x, y) \,|\, 0 \leq x^2 + y^2 \leq 2x\}$ 上で計算する問題です。適切な変数変換を用いる必要があります。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_{D_6} y \,dxdy$ を、領域 $D_6 = \{(x, y) \,|\, 0 \leq x^2 + y^2 \leq 2x\}$ 上で計算する問題です。適切な変数変換を用いる必要があります。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D_6$ を極座標で表します。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ と置換します。

$x^2 + y^2 = r^2$ であるから、$0 \leq x^2 + y^2 \leq 2x$ は $0 \leq r^2 \leq 2r\cos\theta$ となります。

したがって、$0 \leq r \leq 2\cos\theta$ が得られます。

また、$x^2 + y^2 \leq 2x$ は $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ と書き換えられ、これは中心 $(1, 0)$、半径 $1$ の円の内部を表します。

この円は原点を通るので、$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、領域 $D_6$ は極座標で以下のように表されます。

$D_6 = \{(r, \theta) \,|\, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq 2\cos\theta\}$

次に、積分を極座標で書き換えます。$ydxdy = (r\sin\theta)rdrd\theta = r^2\sin\theta \,drd\theta$ なので、

$\iint_{D_6} y \,dxdy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta} r^2\sin\theta \,drd\theta$

となります。

まず、$r$ に関する積分を計算します。

$\int_{0}^{2\cos\theta} r^2 \,dr = \left[\frac{1}{3}r^3\right]_0^{2\cos\theta} = \frac{8}{3}\cos^3\theta$

したがって、

$\iint_{D_6} y \,dxdy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3}\cos^3\theta \sin\theta \,d\theta$

となります。

ここで、$u = \cos\theta$ と置換すると、$du = -\sin\theta \,d\theta$ であり、積分範囲は$\theta: -\frac{\pi}{2} \rightarrow \frac{\pi}{2}$に対して、$u: 0 \rightarrow 0$ となります。

よって、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3}\cos^3\theta \sin\theta \,d\theta = \frac{8}{3} \int_{0}^{0} -u^3 \,du = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$\iint_{D_6} y \,dxdy = 0$