$\lim_{x\to \pi} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$ を $x-\pi = \theta$ とおくことで求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to \pi} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$ を $x-\pi = \theta$ とおくことで求める。

2. 解き方の手順

まず、$x - \pi = \theta$ とおく。すると、$x = \theta + \pi$ となり、$x \to \pi$ のとき $\theta \to 0$ となる。

したがって、求める極限は

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{1+\cos(\theta+\pi)}{\theta^2}$$

と書き換えられる。

三角関数の加法定理より、$\cos(\theta+\pi) = \cos\theta\cos\pi - \sin\theta\sin\pi = -\cos\theta$ であるから、

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos\theta}{\theta^2}$$

となる。

ここで、$1-\cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$ であるから、

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{\theta^2}$$

となる。

$\frac{\theta}{2} = t$ とおくと $\theta = 2t$ となり、$\theta \to 0$ のとき $t \to 0$ となるから、

$$\lim_{t \to 0} \frac{2\sin^2 t}{(2t)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{2\sin^2 t}{4t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2} \left(\frac{\sin t}{t}\right)^2$$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であるから、

$$\frac{1}{2} \left(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}\right)^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$