与えられた関数 $f(x) = \int_0^x (t-x)\sin t \, dt$ を $x$ について微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \int_0^x (t-x)\sin t \, dt$ を $x$ について微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を展開します。

$f(x) = \int_0^x t\sin t \, dt - \int_0^x x\sin t \, dt$

$f(x) = \int_0^x t\sin t \, dt - x \int_0^x \sin t \, dt$

次に、$f(x)$ を微分します。積の微分と微積分学の基本定理を用います。

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_0^x t\sin t \, dt \right) - \frac{d}{dx} \left( x \int_0^x \sin t \, dt \right)$

$f'(x) = x\sin x - \left( \int_0^x \sin t \, dt + x\sin x \right)$

$f'(x) = x\sin x - \int_0^x \sin t \, dt - x\sin x$

$f'(x) = - \int_0^x \sin t \, dt$

$\int_0^x \sin t \, dt = [-\cos t]_0^x = -\cos x - (-\cos 0) = -\cos x + 1 = 1 - \cos x$

よって、$f'(x) = -(1 - \cos x) = \cos x - 1$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \cos x - 1$