与えられた2つの関数を$x$について微分し、$y' = Ax \cos(Bx)$と$F'(x) = e^x - C$の形式で答えを求めます。ここで$A$, $B$, $C$はそれぞれ数字が入る部分です。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を$x$について微分し、$y' = Ax \cos(Bx)$と$F'(x) = e^x - C$の形式で答えを求めます。ここで$A$, $B$, $C$はそれぞれ数字が入る部分です。

2. 解き方の手順

(1) 関数$y = \int_1^x 2t \cos(3t) dt$を微分します。微積分学の基本定理によれば、

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$

したがって、

$y' = \frac{d}{dx} \int_1^x 2t \cos(3t) dt = 2x \cos(3x)$

よって、$A = 2$、$B = 3$となります。

(2) 関数$F(x) = \int_0^x (x-t)e^t dt$を微分します。まず積分を計算します。

$F(x) = \int_0^x (x-t)e^t dt = \int_0^x xe^t dt - \int_0^x te^t dt = x\int_0^x e^t dt - \int_0^x te^t dt$

$\int_0^x e^t dt = [e^t]_0^x = e^x - 1$

$\int_0^x te^t dt$ を部分積分で計算します。$u=t$, $dv=e^t dt$とすると、$du=dt$, $v=e^t$なので、

$\int_0^x te^t dt = [te^t]_0^x - \int_0^x e^t dt = xe^x - (e^x - 1) = xe^x - e^x + 1$

したがって、

$F(x) = x(e^x - 1) - (xe^x - e^x + 1) = xe^x - x - xe^x + e^x - 1 = e^x - x - 1$

$F'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - x - 1) = e^x - 1$

よって、$C = 1$となります。

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2x \cos(3x)$

(2) $F'(x) = e^x - 1$