## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

1. 一次変換 $f(\vec{x}) = A\vec{x}$ によって、ベクトル $\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を2辺とする正方形がどのような図形に写像されるかを図示する。$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ の場合と $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ の場合についてそれぞれ答える。

2. 平面上の変換 $f$ が1次変換であることの定義を行列を用いずに述べる。また、その定義に従って、$f(\vec{0}) = \vec{0}$ が成立することを示す。

3. 行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

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2. 解き方の手順

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1. 一次変換による正方形の像

一次変換によって正方形がどのように写像されるかを調べるには、正方形の頂点の像を調べればよい。正方形の頂点は $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 1)$ である。

**(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ の場合**

* $f(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

* $f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

これらの点を結ぶと平行四辺形になる。

**(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ の場合**

* $f(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

* $f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

* $f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

* $f(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$

これらの点は全て $y = 2x$ 上にあるので、線分になる。

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2. 1次変換の定義と性質

**(1) 1次変換の定義**

平面上の変換 $f$ が1次変換であるとは、任意のベクトル $\vec{x}, \vec{y}$ と任意の実数 $k$ に対して、以下の2つの性質を満たすことである。

* $f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$

* $f(k\vec{x}) = kf(\vec{x})$

**(2) $f(\vec{0}) = \vec{0}$ の証明**

$\vec{0} = 0\vec{x}$ であるから、1次変換の定義より、

$f(\vec{0}) = f(0\vec{x}) = 0f(\vec{x}) = \vec{0}$

したがって、$f(\vec{0}) = \vec{0}$ が成立する。

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3. 固有値と固有ベクトルの計算

行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda$ は、以下の固有方程式を解くことで求められる。

$|A - \lambda I| = 0$

$\begin{vmatrix} 5-\lambda & 8 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)(3-\lambda) - 8 = \lambda^2 - 8\lambda + 7 = (\lambda - 1)(\lambda - 7) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 7$ である。

**(1) $\lambda_1 = 1$ のときの固有ベクトル**

$(A - \lambda_1 I)\vec{v_1} = \vec{0}$ を満たすベクトル $\vec{v_1}$ を求める。

$\begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + 2y = 0$ より、$x = -2y$ となる。よって、固有ベクトルは $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍である。

**(2) $\lambda_2 = 7$ のときの固有ベクトル**

$(A - \lambda_2 I)\vec{v_2} = \vec{0}$ を満たすベクトル $\vec{v_2}$ を求める。

$\begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - 4y = 0$ より、$x = 4y$ となる。よって、固有ベクトルは $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍である。

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3. 最終的な答え

1. 一次変換による正方形の像：解答欄に上記の平行四辺形と線分を図示する。(図は省略)

2. 1次変換の定義と性質：

* 定義：平面上の変換 $f$ が1次変換であるとは、任意のベクトル $\vec{x}, \vec{y}$ と任意の実数 $k$ に対して、$f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$ と $f(k\vec{x}) = kf(\vec{x})$ が成り立つことである。

* 証明：$\vec{0} = 0\vec{x}$ より、$f(\vec{0}) = f(0\vec{x}) = 0f(\vec{x}) = \vec{0}$

3. 固有値と固有ベクトル：

* 固有値：$\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 7$

* 固有ベクトル：$\lambda_1 = 1$ に対して $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍、$\lambda_2 = 7$ に対して $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍