与えられた置換の符号 $sgn(\sigma)$ を求める問題です。問題は全部で3つあります。 (1) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ (3) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換の符号 $sgn(\sigma)$ を求める問題です。問題は全部で3つあります。

(1) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

置換の符号は、置換を互換の積で表したときの互換の個数の偶奇によって決まります。互換の個数が偶数なら符号は1、奇数なら符号は-1です。

(1) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ は恒等置換なので、互換の積で表す必要もなく、互換の個数は0個とみなせます。したがって、符号は1です。

$sgn(\sigma) = 1$

(2) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ は、巡回置換で表すと(1 2 3)です。これを互換の積で表すと、(1 3)(1 2) となります。互換の個数は2個なので、符号は1です。

$sgn(\sigma) = 1$

(3) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ は、巡回置換で表すと(1 3)(2 4)です。既に互換の積で表されているので、互換の個数は2個です。したがって、符号は1です。

$sgn(\sigma) = 1$

3. 最終的な答え

(1) $sgn(\sigma) = 1$

(2) $sgn(\sigma) = 1$

(3) $sgn(\sigma) = 1$