与えられた置換 $\sigma$ の符号 $sgn(\sigma)$ を求める問題です。 (1) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換 $\sigma$ の符号 $sgn(\sigma)$ を求める問題です。

(1) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

置換 $\sigma$ は $1 \to 1, 2 \to 2, 3 \to 3, 4 \to 4$ であり、これは恒等置換です。恒等置換は互換の積として表す必要がないので、符号は1です。

$sgn(\sigma) = 1$

(2)

置換 $\sigma$ は $1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 1, 4 \to 4$ です。

$\sigma$ を互換の積として表します。

$\sigma = (1\ 2\ 3)$

$(1\ 2\ 3) = (1\ 3)(1\ 2)$ と表せるので、互換の数は2つです。

置換の符号は、互換の数が偶数なら1、奇数なら-1です。

したがって、$\sigma$ の符号は $(-1)^2 = 1$ となります。または$\sigma$の互換の分解が(1 2)(2 3)であり、互換の数は2つなので符号は1となります。

ただし、画像の解答例は、 $\sigma = (1\ 2)(2\ 3)$ と書いてありますが、これは正しくありません。 $\sigma = (1\ 2\ 3)$ が正しい表記です。しかし、互換の数が偶数個であることから、符号が1であるという結論は変わりません。

3. 最終的な答え

(1) $sgn(\sigma) = 1$

(2) $sgn(\sigma) = 1$