$ (A | I) = \begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix} $

## 問題の内容

与えられた行列について、基本変形を用いて逆行列を求める問題です。ここでは、(1)の行列の逆行列を求めます。

行列は $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ です。

## 解き方の手順

与えられた行列 $A$ に単位行列を並べた拡大行列を作り、行基本変形によって左側の行列を単位行列に変形します。変形後の右側の行列が、元の行列 $A$ の逆行列となります。

1. 拡大行列を作成します。

$(A | I) = \begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 2行目に1行目の2倍を加えます。（2行目を $R_2$ とすると、$R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1$）

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 14 & | & 2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 2行目を14で割ります。（$R_2 \leftarrow \frac{1}{14} R_2$）

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

4. 1行目から2行目の5倍を引きます。（$R_1 \leftarrow R_1 - 5R_2$）

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

これで左側が単位行列になったので、右側が逆行列です。

## 最終的な答え

逆行列は

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

または、

$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$