関数 $f(x)$ が次の関係を満たすとき、$f(x)$ を求めます。 $f(x) = x + \int_{0}^{\pi} f(t) \sin t \, dt$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次の関係を満たすとき、$f(x)$ を求めます。

$f(x) = x + \int_{0}^{\pi} f(t) \sin t \, dt$

2. 解き方の手順

まず、定積分 $\int_{0}^{\pi} f(t) \sin t \, dt$ は定数であることに注意します。

これを $A$ とおきます。

$A = \int_{0}^{\pi} f(t) \sin t \, dt$

すると、$f(x)$ は次のように書けます。

$f(x) = x + A$

この式を元の定積分に代入します。

$A = \int_{0}^{\pi} (t+A) \sin t \, dt$

$A = \int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt + A \int_{0}^{\pi} \sin t \, dt$

ここで、部分積分を使って $\int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt$ を計算します。

$u = t$, $dv = \sin t \, dt$ とすると、$du = dt$, $v = -\cos t$ となります。

$\int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos t) \, dt = [-\pi \cos \pi - 0] + \int_{0}^{\pi} \cos t \, dt = [-\pi(-1)] + [\sin t]_{0}^{\pi} = \pi + [0-0] = \pi$

また、

$\int_{0}^{\pi} \sin t \, dt = [-\cos t]_{0}^{\pi} = [-\cos \pi - (-\cos 0)] = [-(-1) - (-1)] = 1+1 = 2$

したがって、

$A = \pi + 2A$

$-A = \pi$

$A = -\pi$

これを $f(x) = x + A$ に代入すると、

$f(x) = x - \pi$

3. 最終的な答え

$f(x) = x - \pi$