与えられた条件を満たす二次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられている場合 (2) 軸と通る2点の座標が与えられている場合 (3) 通る3点の座標が与えられている場合

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす二次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられている場合

(2) 軸と通る2点の座標が与えられている場合

(3) 通る3点の座標が与えられている場合

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が $(p, q)$ である二次関数は $y = a(x-p)^2 + q$ と表されます。この式に与えられた点の座標を代入して $a$ を求めます。

頂点が $(1, -2)$ なので、$y = a(x-1)^2 - 2$ と表せます。

このグラフが点 $(2, -3)$ を通るので、

$-3 = a(2-1)^2 - 2$

$-3 = a - 2$

$a = -1$

よって、二次関数は $y = -(x-1)^2 - 2$ となります。

展開して整理すると、$y = -(x^2 - 2x + 1) - 2 = -x^2 + 2x - 1 - 2 = -x^2 + 2x - 3$ となります。

(2) 軸が $x = -3$ である二次関数は $y = a(x+3)^2 + q$ と表されます。この式に与えられた2点の座標を代入して $a$ と $q$ を求めます。

このグラフが点 $(0, 9)$ を通るので、$9 = a(0+3)^2 + q$ より $9 = 9a + q$ が得られます。

また、このグラフが点 $(-2, -7)$ を通るので、$-7 = a(-2+3)^2 + q$ より $-7 = a + q$ が得られます。

連立方程式 $9a + q = 9$ と $a + q = -7$ を解きます。

上の式から下の式を引くと、$8a = 16$ となり、$a = 2$ となります。

$a = 2$ を $a + q = -7$ に代入すると、$2 + q = -7$ より $q = -9$ となります。

よって、二次関数は $y = 2(x+3)^2 - 9$ となります。

展開して整理すると、$y = 2(x^2 + 6x + 9) - 9 = 2x^2 + 12x + 18 - 9 = 2x^2 + 12x + 9$ となります。

(3) 一般形 $y = ax^2 + bx + c$ に3点の座標を代入して、連立方程式を解いて $a, b, c$ を求めます。

点 $(-1, 1)$ を通るので、$a(-1)^2 + b(-1) + c = 1$ より $a - b + c = 1$ が得られます。

点 $(1, -5)$ を通るので、$a(1)^2 + b(1) + c = -5$ より $a + b + c = -5$ が得られます。

点 $(3, 5)$ を通るので、$a(3)^2 + b(3) + c = 5$ より $9a + 3b + c = 5$ が得られます。

連立方程式

$a - b + c = 1$

$a + b + c = -5$

$9a + 3b + c = 5$

を解きます。

上の式と真ん中の式を足すと、$2a + 2c = -4$ より $a + c = -2$ が得られます。

上の式から真ん中の式を引くと、$-2b = 6$ より $b = -3$ が得られます。

3つ目の式から上の式を引くと、$8a + 4b = 4$ より $2a + b = 1$ が得られます。

$b = -3$ を代入すると、$2a - 3 = 1$ より $2a = 4$ となり、$a = 2$ となります。

$a + c = -2$ に $a = 2$ を代入すると、$2 + c = -2$ より $c = -4$ となります。

よって、二次関数は $y = 2x^2 - 3x - 4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 + 12x + 9$

(3) $y = 2x^2 - 3x - 4$