区分求積法を用いて、以下の極限を計算し、$\frac{\square}{\pi}$の$\square$部分を求めます。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

1. 問題の内容

区分求積法を用いて、以下の極限を計算し、$\frac{\square}{\pi}$の$\square$部分を求めます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

2. 解き方の手順

区分求積法の定義より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \frac{k}{n} \right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$

この問題では、$f(x) = \sin (\pi x)$ に対応するので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \left( \frac{k\pi}{n} \right) = \int_{0}^{1} \sin(\pi x) dx$

積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \sin(\pi x) dx = \left[ - \frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right]_{0}^{1}$

$= - \frac{1}{\pi} \cos(\pi) - \left( - \frac{1}{\pi} \cos(0) \right)$

$= - \frac{1}{\pi} (-1) + \frac{1}{\pi} (1)$

$= \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi}$

$= \frac{2}{\pi}$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{n} \right) = \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

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