$n$次正方行列 $A$ に対して、$A$ のすべての小行列 $X$ の中で、$|X| \neq 0$ となるものの最大の次数を $m(A)$ とする。 1. $n$ 次正方行列の標準形 $B$ に対して、$m(B) = \text{rank } B$ であることを示す。

1. 問題の内容

$n$次正方行列 $A$ に対して、$A$ のすべての小行列 $X$ の中で、$|X| \neq 0$ となるものの最大の次数を $m(A)$ とする。

1. $n$ 次正方行列の標準形 $B$ に対して、$m(B) = \text{rank } B$ であることを示す。

2. $A$ を基本変形しても $m(A)$ の値は変わらないことを示す。これにより、$A$ の標準形を $B = PAQ$ としたとき、$m(A) = m(B)$ を示す。

3. $m(A) = \text{rank } A$ を示す。

また、$n$次正方行列$A$の階数が$n-2$以下であるならば、$A$の余因子行列$\widetilde{A}$は零行列であることを示す (ヒント: 6 を用いる)。

2. 解き方の手順

**問題6**

1. 標準形 $B$ は、対角成分に $1$ が $\text{rank } B$ 個並び、残りの成分がすべて $0$ であるような行列である。

$B$ の $\text{rank } B$ 次の小行列として、左上の $\text{rank } B \times \text{rank } B$ の単位行列を選ぶことができる。その行列式は $1 \neq 0$ である。

一方、$B$ の $\text{rank } B + 1$ 次以上の小行列は、必ず少なくとも1つの行または列がすべて $0$ になるため、その行列式は $0$ である。

したがって、$m(B) = \text{rank } B$ である。

2. $A$ を基本変形しても $m(A)$ の値は変わらないことを示す。基本変形は正則行列を左または右から掛けることに対応する。正則行列を掛けても、小行列の次数は変わらない。行列式が非ゼロとなる最大の次数も変わらない。したがって、$m(A)$ の値は変わらない。

$A$ の標準形を $B = PAQ$ としたとき、$m(A) = m(B)$ を示す。 $P$ と $Q$ は正則行列であり、基本変形の繰り返しによって $A$ が $B$ に変換される。したがって、$m(A) = m(B)$ である。

3. $m(A) = \text{rank } A$ を示す。

2. より $m(A) = m(B)$ である。また、

1. より $m(B) = \text{rank } B$ である。標準形 $B$ の階数 $\text{rank } B$ は、$A$ の階数 $\text{rank } A$ に等しい。したがって、$m(A) = \text{rank } A$ である。

**問題7**

$n$次正方行列 $A$ の階数が $n-2$ 以下であるならば、$A$ の余因子行列 $\widetilde{A}$ は零行列であることを示す。

問題6より、$m(A) = \text{rank } A$ である。$\text{rank } A \le n-2$ であるから、$m(A) \le n-2$ となる。

余因子行列の各成分は、$A$ の $(n-1)$ 次の小行列の行列式に符号を付けたものである。$m(A) \le n-2$ なので、$A$ の $(n-1)$ 次の小行列の行列式はすべて $0$ である。

したがって、余因子行列 $\widetilde{A}$ のすべての成分は $0$ であり、$\widetilde{A}$ は零行列である。

3. 最終的な答え

**問題6**

1. $m(B) = \text{rank } B$

2. $m(A) = m(B)$

3. $m(A) = \text{rank } A$

**問題7**

$A$ の余因子行列 $\widetilde{A}$ は零行列である。